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福师《实变函数》在线作业一-0001 试卷总分:100 得分:100 一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分) 1.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
2.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
3.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
4.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
5.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
6.f可积的充要条件:|f|可积。
7.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
8.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
9.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
10.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
11.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
12.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
13.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
14.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
15.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
16.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
17.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
18.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
19.零测度集的任何子集都是可测集.
20.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
21.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
22.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
23.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
24.可数集的测度必为零，反之也成立.
25.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
26.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
27.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
28.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
29.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
30.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
31.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
32.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
33.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
34.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
35.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
36.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
37.若f∈BV,则f有界。
二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分) 38.若|A|=|B|,|C|=|D|,则 A.|A∪C|=|B∪D| B.|A∩C|=|B∩D| C.|A\C|=|B\D| D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
39.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
40.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的 A.连续函数 B.单调函数 C.有界变差函数 D.绝对连续函数
41.开集减去闭集其差集是（ ） A.闭集 B.开集 C.非开非闭集 D.既开既闭集
42.若A为R^n中一疏集，则（ ） A.Ac为稠集 B.A为开集 C.A为孤立点集 D.A不完备
三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分) 43.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ） A.m(A)<m(B) B.m(A)<=m(B) C.m(B\A)=m(A) D.m(B)=m(A)+m(B\A)
44.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ） A.几乎处处可微 B.L可积 C.f'可积 D.区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
45.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ） A.fn测度收敛于|f| B.afn+bgn测度收敛于af+bg C.(fn)^2测度收敛于f^2 D.fngn测度收敛于fg
46.若0<=g<=f且f可积，则（ ） A.g可积 B.g可测 C.g<∞，a.e. D.当g可测时g必可积
47.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上 A.有L积分值 B.广义R可积 C.L可积 D.积分具有绝对连续性
48.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是 A.是L可测函数 B.不是L可测函数 C.有界函数 D.连续函数
49.若f∈AC[a,b]，则（ ） A.f∈C[a,b] B.f∈BV[a,b] C.f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt D.f∈Lip[a,b]
50.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ） A.有界函数 B.可测函数 C.有界变差函数 D.绝对连续函数
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