常微分方程学习活动4

第二章  基本定理的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1. 方程 的任一非零解　　         与x轴相交．

2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的　　        　　条件．

3. 方程 + ysinx = ex的任一解的存在区间必是           ．

4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是           ．

5．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　        　　．

6．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　        　　．

7．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　        　　．

8．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　        　　．

9．方程 满足解的存在惟一性定理条件的区域是　　          　　．

10．一个不可延展解的存在在区间一定是             区间．

二、计算题

1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？

（1）              （2）

2．讨论方程 在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过 的一切解．

3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．

（1）         （2）

三、证明题

1．试证明：对于任意的 及满足条件 的 ，方程 的解 在 上存在．

2．设 在整个平面上连续有界，对 有连续偏导数，试证明方程 的任一解 在区间 上有定义．

3．设 在区间 上连续．试证明方程

                      

的所有解的存在区间必为 ．

4．在方程 中，已知 ， 在 上连续，且 ．求证：对任意 和 ，满足初值条件 的解 的存在区间必为 ．

5．假设方程 在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且 ， 是定义在区间I上的两个解．求证：若 < ， ，则在区间I上必有  < 成立．

6．设 是方程

                      

的非零解，其中 在 上连续．求证：当 时，必有 ．

7．设 在 上连续可微，求证：对任意的 ， ，方程

                      

满足初值条件 的解必在 上存在．

8．证明：一阶微分方程

的任一解的存在区间必是 ．

四、应用题

1．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在 轴上的截距之和为1．

2．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数 ．

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